Lavori degli studenti
Gli studenti Stefano Boerci e Andrea Perna della classe 2D hanno partecipato al concorso cinematografico "Cinema in sicurezza" organizzato da Quattroruote e dalla Polizia Locale di Milano. La premiazione del concorso si è svolta venerdì 30 maggio 2008 al Teatro Studio allapresenza del direttore di Quattroruote Mauro Tedeschini, di Emiliano Bezzon, del vicesindaco Riccardo De Corato e di Ivan Capelli, ex pilota. Lo spot girato dagli studenti Stefano Boerci e Andrea Perna ha meritato una menzione particolare con una targa. ______________________________________________________________ Fiabe di un paese che non c'è 2008, classe 1E file power point (55 MB) ____________________________________________________________________________ Lions Club del Rubicone Si è classificata al secondo posto Annalisa Maroli, iscritta alla classe 4E, con il seguente giudizio: "Le poesie presentate hanno un sapore d'antico per la loro costruzione ritmica, per l'ostentata rima, per il lessico raffinato e colto ma in perfetta sintonia con il costrutto del verso e dell' intera poesia. Di fronte a sonetti si puo rimanere quasi interdetti, oggi, nel 2007, sonetti per altro perfetti nel fraseggio e negli accenti, che affrontano tematiche spesse di momenti di sconforto e di solitudine, e richieste di intrecci di affetti. Eppure in poesia nulla e dato per scontato, ne per definitivo e una forma quasi arcaica, comunque desueta, puo rivelare tutta la sua modernità nell'accostamento dei lessemi: "neve e lavanda e fuochi d'inferno": ecco un coacervo di ossimori, di freddo e di ardore con la dolce freschezza dell'azzurro lavanda. C'e poco Petrarca e molto decadentismo in queste poesie; gli scorci idilliaci e campestri orecchiano immagini pascoliane e crepuscolari, si collocano a riposo e ristoro dentro un percorso che non manca di interrogativi senza risposta, di fitte di dolore.
A mio padre Nel crepuscolo di tenebre dense
Ambra Nell'ombra greve trattengo il fiato
Scoppio di arpeggi L'ultima fulgida sera d'estate Savignano sul Rubicone, 29 aprile 2007 _____________________________________________________________________________ Summer School Incontriamo la matematica 5/6/7 settembre 2006 S. Pellegrino Terme (Bg)
La Teoria dei Giochi
La Summer School è stata la prima “scuola estiva” di matematica della nostra regione voluta dall’Ufficio Scolastico Regionale per la Lombardia in collaborazione con il Centro Servizi Amministrativi di Bergamo, l’Università degli Studi di Bergamo, la Mathesis di Bergamo, l’A.I.F. di Bergamo, SINAPSI, Bergamo Scienze, la provincia di Bergamo, la fondazione Livia Tonolini con il patrocinio del comune di S. Pellegrino ed il sostegno della Comunità Montana Valle Brembana, a cui hanno partecipato circa cento studenti del terzo e quarto anno degli istituti superiori lombardi e i rispettivi docenti di matematica. L’obiettivo principale che si è prefissa questa importante iniziativa è stato quello di suscitare interesse e passione per il metodo scientifico ed il pensiero matematico, attraverso un percorso organizzato in cui si sono evidenziati i legami tra la matematica a la vita quotidiana. Altro scopo è stato quello di valorizzare le materie scientifiche con un’adeguata formazione/informazione, al fine di incentivare le iscrizioni alle Facoltà Scientifiche che negli ultimi anni hanno subito un forte calo. La Summer School, organizzata presso il Casinò di S. Pellegrino, ha offerto diverse conferenze, tenute da esperti del panorama scientifico e docenti di prestigiosi atenei italiani, su tematiche relative all’area della matematica e delle sue infinite applicazioni, tra le quali anche il cinema, il teatro, l’arte, la musica, il gioco e laboratori interattivi.
04 settembre 2006: primo giorno
Il Dirigente del CSA di Bergamo, Professor Luigi Soffia, ha rivolto un saluto agli studenti e ai loro docenti ed un ringraziamento ai rappresentanti delle istituzioni ed associazioni scientifiche che hanno reso possibile questa iniziativa. Ha poi sottolineato l’importanza della matematica e la necessità di stimolare l’interesse degli studenti, individuando metodologie e strumenti adatti per comunicarla, perché tale scienza può anche affascinare, appassionare e divertire. E’ perciò necessaria un’educazione matematica per assicurare il continuo sviluppo del pensiero razionale e della conoscenza in generale.
Conferenze:
La prima conferenza è stata affidata al professor Gianfranco Gambarelli, docente dell’Università degli Studi di Bergamo e fondatore della scuola italiana di Teoria dei Giochi, che ha esposto, in modo semplice ed accessibile a tutti, il tema della teoria dei giochi matematici. Egli ha parlato del film “A beautiful Mind” (4Oscar e 2 Golden Globe) diretto da Ron Howard ed interpretato da Russel Crowe, che si ispira alla vita di John Nash, premio Nobel per l’economia. Questa connessione tra scienza e cinema è dovuta principalmente alle tormentate e sorprendenti vicende del grande matematico, nonché all’importanza delle sue scoperte. La Teoria dei Giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e/o cooperative. Le applicazioni e interazioni di tale teoria sono molteplici: dal campo economico a quello militare, biologico, sociologico, psicologico, finanziario, politico, ambientale, sportivo. La Teoria nasce nel 1928 con un articolo di von Neumann e trova i primi importanti impieghi nella seconda guerra mondiale. Il matematico è, infatti, padre del mitico MANIAC (coperto dal segreto militare) precursore del Mark1. I primi utilizzi dell'Informatica consistono nell'applicazione della Teoria dei Giochi all'elaborazione delle quote di sgancio per i bombardieri, dei percorsi dei convogli che minimizzano la probabilità di intercettazioni nemiche e così via. Un nuovo passo fondamentale è favorito dall'incontro a Princeton fra von Neumann e l'economista Oskar Morgenstern; da quell'interazione nasce nel 1944 il testo Theory of Games and Economic Behavior destinato a rivoluzionare i rapporti fra Matematica ed Economia. Alla fine degli anni '40 John Nash introduce e sviluppa il concetto di 'equilibrio di Nash', un insieme di strategie adottate da tutti i giocatori costituisce un equilibrio di Nash se a nessuno conviene cambiare la sua, nel caso in cui tutti gli altri mantengano fissa la loro scelta. Consideriamo per esempio un gioco composto da vari giocatori, ciascuno dotato di un numero finito di strategie ordinate secondo un certo criterio. Supponiamo che la regola dei pagamenti assegni vincite positive a tutti i giocatori, nel caso in cui tutti insieme scelgano la loro prima strategia; ancora vincite positive a tutti, nel caso in cui tutti insieme scelgano l'ultima strategia di ciascuno; vincite nulle a tutti, altrimenti. È facile verificare che l'insieme delle scelte per cui ognuno gioca la sua prima strategia costituisce un equilibrio di Nash; analogamente l'insieme delle scelte per cui ognuno gioca la sua ultima strategia. Ovviamente, non tutti i giochi sono così semplici. Nel 1953, Nash affronta il problema delle strategie di cooperazione fra giocatori e della ripartizione della vincita ottenuta. La 'soluzione cooperativa di Nash' per giochi a due persone costituisce un importante contributo alla risoluzione di conflitti.
Il Professor Domenico Lenzi dell’Università di Lecce (2° intervento dal titolo Questioni di numeri: Lo zero perduto e altre crisi della matematica) ha illustrato i momenti di crisi che ha incontrato la matematica nel corso della sua evoluzione. La relazione inizia citando un primo momento di “non evoluzione” della matematica (forse dovuto al diffondersi della dominazione romana, che impose i suoi metodi anche in fatto di numeri!). Quello della perdita dello zero e della rappresentazione posizionale dei numeri, in uso già in Mesopotamia diversi secoli prima di Cristo. A suo avviso, la vera rivoluzione della matematica fu proprio l’introduzione dello zero, per designare la mancanza di altri segni in alcune posizioni della rappresentazione numerica. Insomma, lo zero fu inteso come “segnaposto”, che con le sue occorrenze in una sequenza di cifre fosse in grado di segnalare le posizioni che risultavano prive delle altre cifre numeriche. Da questo punto di vista lo zero sembrava apparire più come dato metamatematico per descrivere meglio il comportamento delle cifre “effettive”, non nulle, segnalando i posti non occupati da queste. La conoscenza e l’uso dello zero come numero è comparsa, nella nostra società, soltanto dopo circa undici secoli, grazie alla cultura araba che ce ne ha fatto gradito omaggio insieme alla rappresentazione decimale dei numeri! Viene ricordata anche la crisi pitagorica, legata alla scoperta di segmenti tra loro incommensurabili, che sembrava rompere l’armonia tra mondo numerico e mondo geometrico e metteva in dubbio lo stesso teorema di Pitagora. A questa crisi si deve la “costruzione” dei numeri irrazionali. Altro momento “difficile”è quello dell’avvento – nel ‘700 – delle geometrie non euclidee, che misero in discussione la visione millenaria che si aveva del mondo. Senza dimenticare l’Inferno che Russell ci spalancò con la sua antinomia, dopo l’illusione del Paradiso cantoriano. Prof. Domenico Lenzi - Università di Lecce
Nella terza lezione il Professor Renato Betti del Politecnico di Milano ha trattato il tema delle geometrie non euclidee, le cui vicende si sono svolte lungo un periodo di più di 2000 anni a partire dal IV e III secolo a.C. fino alla prima metà dell’ 800, ripercorrendo alcuni sviluppi significativi. Egli ha esposto principalmente il “problema delle parallele”. Nella prima metà dell'800 viene superato il "problema delle parallele" (teorizzato nel III secolo a.C. da Euclide) e prendono forma le prime "geometrie non euclidee". Uno dei protagonisti di questa vicenda è il matematico russo Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, rettore dell'Università di Kazan', la cui opera, prima del riconoscimento postumo, venne ignorata e spesso derisa e vilipesa. In questa biografia vengono spiegati i risultati tecnici e concettuali raggiunti nei suoi lavori che permettono, dopo la loro comprensione e l'ulteriore elaborazione da parte della comunità matematica, di portare a compimento l'idea di spazio matematico come conquista intellettuale. All’inizio della geometria come scienza razionale si pensava ad un’unica geometria di un unico spazio – quello nel quale viviamo – che era intuitivamente e per semplicità pensato piatto. Fin dal III secolo avanti Cristo questa geometria, considerata come l’unica, vera geometria del nostro mondo, è stata descritta in termini assiomatici in un’opera che è rimasta famosa: gli Elementi di Euclide. Nel caso del piano, Euclide fissa cinque postulati – proprietà che sono assunte come vere senza bisogno di dimostrazione – ed a partire da questi postulati dimostra in maniera rigorosa le altre proprietà delle figure. Il metodo assiomatico, che ha fatto la sua prima comparsa negli Elementi, è considerato tutt’ora il metodo deduttivo per eccellenza. Tuttavia, subito dopo la comparsa degli Elementi di Euclide, la comunità scientifica – matematici, fisici, filosofi della natura – ha sollevato alcune perplessità sul V ed ultimo postulato della geometria piana – il cosiddetto Postulato delle parallele. Ecco una formulazione del postulato diversa, ma equivalente a quella data da Euclide. In un piano, dati una retta ed un punto fuori di essa, esiste un’unica retta passante per il punto e parallela alla retta data. Fin dai tempi più antichi gli scienziati – che ritenevano la proprietà vera e necessaria ed erano grandemente ammirati dall’opera di Euclide – cominciarono a pensare che si trattasse di un teorema, cioè di una proprietà che si poteva dimostrare a partire dai precedenti quattro postulati, e non di una proprietà da assumere senza dimostrazione. Ma, nel corso di due millenni, nonostante numerosi e spesso arguti tentativi, nessuno riuscì mai a dimostrarlo. O meglio, si trovarono numerose dimostrazioni ma prima o poi scoprirono che erano basate tutte, implicitamente, su assunzioni equivalenti al postulato da dimostrare. Alla fine del ‘700, l’impossibilità a dimostrare il postulato delle parallele veniva considerato un vero e proprio scandalo dei fondamenti della geometria. Oggi, duemila anni dopo – col senno di poi – noi sappiamo che una dimostrazione di questo tipo non si poteva trovare. Come ormai è noto, il Vo postulato è indipendente dagli altri: se fosse una conseguenza dei precedenti quattro, valendo questi dovrebbe valere automaticamente, invece esistono delle superfici sulle quali valgono i primi quattro postulati ma non quello delle parallele. Ma c’è di più: solo dalla seconda metà dell’800, abbiamo la coscienza che su altre superfici, che erano note e studiate per altri motivi, ad esempio le curve di minima distanza – che sulla superficie si interpretano come rette –sono tali che per un punto esterno ad una di esse passi più di una parallela. Queste superfici si chiamano pseudosfere e sono da considerare come delle sfere a curvatura negativa – intuitivamente “concave”, anziché “convesse”. La scoperta della loro proprietà relativa al postulato delle parallele è stata fatta da Eugenio Beltrami nel 1868. La sfera e la pseudosfera sono due superfici sulle quali la geometria è non euclidea, nel senso che il postulato delle parallele non vale. E sono non euclidee in due maniere diverse: in un caso per mancanza di parallele (sulla sfera), nell’altro per la presenza di tante parallele (sulla pseudosfera). La sfera ha curvatura positiva, la pseudosfera ha curvatura negativa. Il caso intermedio fra la curvatura positiva e la curvatura negativa è quello della curvatura nulla, cioè del piano, in cui c’è un'unica parallela: questo corrisponde al fatto che la curvatura del piano è nulla – e questo significa che lo spazio è piatto! In questo modo si raggiunge una visione di grande unità in relazione alla geometria delle superfici. In un mondo in cui non esistono rette parallele – come sulla superficie della sfera – muovendosi costantemente nella direzione di minima distanza – e dunque con la percezione di percorrere una retta – si ritorna al punto di partenza. Un mondo in cui le parallele esistono, ma non sono uniche, è invece un mondo come quella della superficie pseudosferica – in cui essere paralleli non vuol dire avere sempre la stessa distanza ma semplicemente non incontrarsi. In questo mondo, le rette parallele si avvicinano indefinitamente l’una all’altra, asintoticamente, da una parte, ma si allontano progressivamente dall’altra parte.
Nel pomeriggio, gli attori del Teatro Arsenale di Milano hanno rappresentato degli stralci da due spettacoli relativi alle geometrie non euclidee, messi in scena già in passato. Il primo è uno sguardo alla storia, in cui si vede come la scoperta delle geometrie non euclidee sia stata tenuta nascosta per anni allo scopo di non intaccare l’autorità di Euclide; nel secondo l’Amleto Shakespeariano scopre dietro il fantasma del padre un messaggero giunto a rivelargli le differenze tra terza e quarta dimensione, tra vita letteraria e vita reale.
05 settembre 2006: secondo giorno
Il secondo giorno è iniziato con una conferenza tenuta dai professori Stefano Leonesi e Carlo Toffalori dell’Università di Camerino riguardante “la matematica dell’infinto”. Gli oratori hanno tracciato una veloce “storia dell’infinito” spiegando che, per affrontare “l’infinito”, dobbiamo iniziare a vedere cosa pensavano gli antichi greci. Non perchè i greci ammettessero l'uso dell'infinito in matematica, ma perché sappiamo che già Euclide aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti! Euclide non ha certo affermato che una retta è infinita, ma piuttosto che ogni segmento di retta può essere esteso a piacere; né ha affermato che i numeri primi sono infiniti, ma bensì che sono maggiori di ogni quantità definita. Ovvero i greci hanno continuato a lavorare con quantità finite, ma hanno fatto in modo da averne “sempre” ogni volta che serviva. Zenone di Elea è noto per i suoi paradossi.Tutti conosciamo quello di Achille che non può raggiungere la tartaruga, perché ogni volta che è arrivato alla posizione dove quest'ultima si trova, essa si è spostata un po' in avanti Aristotele poi ha teorizzato l'infinito potenziale, che possiamo definire come qualcosa che sta al di là di quello che possiamo raggiungere, ma “in quella direzione”, come il prolungamento del segmento per Euclide. Come altro esempio, a proposito di infinito, si può prendere Archimede e il metodo di esaustione, che afferma più o meno che “Se da una quantità data ne togliamo più della metà, da quella che resta ne togliamo ancora più della metà, e via discorrendo, possiamo arrivare ad avere meno di una qualunque quantità predefinita”. La cosa sembra ovvia, ma non lo è affatto: basta vedere la difficoltà trovata nell'applicare l'esaustione ad alcuni problemi di misurazione. Ad esempio per calcolare la misura dell'area di un cerchio si può procedere in questo modo: abbiamo una successione A1, A2... (i poligoni di 6,12,24... lati inscritti alla circonferenza) per cui la differenza tra l'area del cerchio circoscritto e la loro si riduce sempre di più; e una successione B1, B2... (i poligoni di 6,12,24... lati circoscritti alla circonferenza) per cui capita lo stesso, ma con valori superiori. A questo punto possiamo dare degli estremi superiori e inferiori all'area del cerchio. Archimede, studiando proprio questo caso, riuscì a dire che il valore di π è compreso tra 3 + 10/71 e 3 + 1/7.
Dal 1600/1700 si iniziò ad affrontare più concretamente l’infinito in matematica: scienziati come Grandi, Leibniz affrontarono somme di infiniti numeri e si avvicinarono comunque all’infinito potenziale, ma non lo studiarono in modo approfondito. Dopo la formulazione del paradosso di Galileo, secondo il quale c’è una corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e i quadrati perfetti, anche altri matematici iniziarono ad occuparsi di questi argomenti. Cantor fu uno dei più importanti; egli sviluppò i concetti di potenza del numerabile e potenza del continuo e affrontò una serie di paradossi che dimostrano che quando si parla di infinito non si possono applicare le regole classiche dell’aritmetica. Questa “lezione” è stata molto interessante, perché siamo stati stupiti dai paradossi che i vari scienziati avevano elaborato e lo siamo stati ancora di più dopo aver compreso le dimostrazioni che ci mettevano davanti agli occhi la verità su realtà ben lontane dalla nostra esperienza quotidiana. La mattinata è proseguita con la relazione che il professore del Politecnico di Milano, Roberto Lucchetti, ha tenuto sulla Teoria dei Giochi elaborata da John Nash. Il docente ha presentato molti giochi che fungevano da esempi per la teoria, come l’”ultimatum game” e il “dilemma del prigioniero”, e ha spiegato i ragionamenti che ne stanno alla base. Questa conferenza è stata, oltre che divertente, stimolante e ha sottolineato lo stretto legame che c’è tra questa branca della matematica e la psicologia. Infatti, la Teoria dei Giochi analizza le scelte che una persona compirebbe se agisse solamente con la ragione e, per questo motivo, molti psicologi e psichiatri hanno collaborato con alcuni matematici per elaborare degli esperimenti al fine di scoprire qualcosa di più sulla nostra mente. Nel pomeriggio, si sono svolti i laboratori; ce ne sono stati due tra cui scegliere, ma entrambi si sono rivelati deludenti, perché non erano dei laboratori in cui noi ragazzi potevamo applicarci, ma altre conferenze da ascoltare. Un laboratorio, tenuto da Franco Tonolini e Giuliana Zibetti della fondazione “Livia Tonolini”, ha affrontato il tema delle “tassellazioni” come esempio di rappresentazione dell’infinito nel piano; sono stati illustrati mosaici e fregi con le loro proprietà caratteristiche. In particolare, è stato per noi stupefacente scoprire le molte proprietà matematiche che queste decorazioni artistiche posseggono e siamo così riusciti a tracciare una linea di collegamento tra matematica e arte. Quest’ultimo aspetto è stato anche rafforzato dell’opera di una figura eccezionale, Escher, grafico dei Paesi Bassi, che con la sua genialità ha saputo creare disegni di rara bellezza e rispettanti tutte le regole matematiche della tassellazione. L’altro laboratorio ha riguardato la teoria dei numeri in relazione alla storia della matematica. Il relatore era il professore Alvise Merini: di fatto in esso si è raccontato come dalla matematica di Pitagora si sia arrivati a quella dei giorni nostri, con l’introduzione di nuovi simboli al seguito dell’invenzione di nuove operazioni e con le varie diramazioni che l’aritmetica ha subito in particolare negli ultimi tempi. Alla fine dell’intervento si è di fatto aperto un dibattito sul perché l’algebra, in campo scolastico, sia così odiata.
06 settembre 2006: terzo giorno
La terza ed ultima giornata della Summer School si è aperta al casinò di San Pellegrino terme all’insegna dei processi iterativi. Il Professor Primo Brandi, dell’Università di Perugia, ha illustrato alcune applicazioni della matematica allo studio di fenomeni della vita reale, ovvero ha fatto vedere che il modello matematico di un fenomeno della vita reale è un processo di razionalizzazione che ha lo scopo di fornire una descrizione sintetica ed oggettiva del fenomeno stesso. Non solo ma uno stesso modello è in grado di rappresentare più fenomeni anche molto diversi tra loro. In particolare ha preso come esempio di tale modellizzazione i processi iterativi, perché trovano numerose applicazioni.
Il percorso iterativo prevede vari passaggi da ripetere un numero definito di volte per arrivare al risultato necessario. E’ un processo elementare, che trova, in varie forme, moltissime applicazione in campi diversi, dalla vita quotidiana all’economia, dalle scienze biologiche a quelle fisiche. Un esempio tipico è quello di calcolare l’interesse di un deposito in banca: ogni mese si deve aggiungere al capitale giacente una percentuale dello stesso. I modelli iterativi possono essere generalmente descritti con delle trasformazioni nel piano cartesiano, per cui troviamo modelli lineari, esponenziali ecc. Inoltre, se si applica un processo iterativo ad una trasformazioni figura-figura si deriva la geometria frattale. Passato il coffee break, comincia la relazione del Prof. Marco Boella, riguardo un aspetto spesso poco conosciuto della matematica: il collegamento tra questa e la musica. La relazione si avvale, cosa non comune, ma inevitabile dato l’intervento trattato, dell’uso di alcuni suoni… L’intervento è diviso in due parti: la prima parla dei fondamenti stessi della musica e dei suoni, ossia la loro frequenza. Infatti fin dall’antichità si è cercato di produrre scale musicali “temperate” cioè con intervalli, ossia rapporti di frequenza, costanti. Questo si è rivelato molto più complesso del previsto, in quanto i vari intervalli che regolano le note e gli accordi, in particolare quelli di terza e di quinta, non erano compatibili tra di loro… Attraverso l’analisi del temperamento puro, di quello pitagorico, di quello mesotonico e del “risolutivo” equabile si è visto come la soluzione al problema è stata di fatto una non-soluzione, ma un compromesso che riduce al minimo tutte le cacofonie delle scale precedenti, anche se è stato possibile applicarlo solo ultimamente perché l’accordatura degli strumenti secondo questo temperamento, non usando rapporti “semplici” come gli altri, richiede strumenti appropriati La seconda parte della relazione si è invece occupata del rapporto tra musica e rumore: cosa li delimita? Dove finisce il rumore e inizia la musica? Secondo la definizione normale “rumore” è una successione di note totalmente casuale per cui, chiedendo ad un computer di estrarre note a caso, questi genera un rumore. Altro tipo di rumore è quello browniano, più “vincolato” perché dopo una nota il computer può estrarre casualmente soltanto la successiva o la precedente. Usando una via di mezzo tra il primo rumore (o rumore bianco) e il rumore browniano, si genera la cosiddetta “musica frattale” che in certi casi sembra quasi composta da una persona. Dopo pranzo, invece, si è rimasti nell’istituto alberghiero per partecipare a uno dei due laboratori proposti, che ricalcavano gli interventi della mattinata: la Matematica della musica e i processi iterativi. Uno dei due incontri si è svolto in un laboratorio di informatica perché prevedeva l’utilizzo del software Microsoft Excel. In particolare si è utilizzato il software per calcolare, tramite un processo iterativo, gli interessi semplici e composti. In seguito si è cercato di arrivare ad una formula analitica che consentisse di calcolare la stessa sequenza. Poi si è passati alla sequenza di Fibonacci e anche lì si è mostrato come esista, seppur complessa, una formula analitica che la descrive. A causa del poco tempo a disposizione non si è però potuto lavorare direttamente sul computer, ma si è solo assistito agli esempi della relatrice.
L’esperienza è stata certamente educativa ed edificante. In particolare sono stati introdotti dei campi della matematica normalmente non affrontati nei curricula scolastici, quali la teoria dei giochi, il rapporto tra musica e matematica ma anche, molto più banalmente, la storia della matematica o il senso dell’infinito, spesso usato pedissequamente come un simbolo senza comprenderne il significato. Auspichiamo che l’esperienza si ripeta in futuro in modo che nuovi studenti possano condividere la nostra esperienza.
Andreini Stefano Caccianiga Lorenzo Mancini Sara _______________________________________________________________________ DUE PUGNI DI TERRA PER UN SOGNO, classe 1E file power point 17 MB DUE PUGNI DI TERRA PER UN SOGNO, classe 2A file power point .pptx 34 MB (per visualizzare files nei nuovi formati di file introdotti in Microsoft Office Word, Excel e PowerPoint 2007 con il vecchio Office 2003 esiste il Microsoft Office Compatibility Pack per formati di file Word, Excel e PowerPoint 2007 )
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